Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: (x-2)/1 = (y+2)/2= (z-3)/2 và mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3 = 0. a) Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). b) Viết phương trình mặt phẳng (Q)

a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (1; 2; 2), \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; 1; −1).

⇒ sin(∆, (P)) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right|\) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} - {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}\).

⇒ cos(∆, (P)) ≈ 15,8°.

b) Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right|} \right)\) = (−4; 5; −3) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Mặt phẳng (Q) chứa ∆ nên đi qua A(2; −2; 3) nên phương trình mặt phẳng của (Q) là:

−4(x – 2) + 5(y + 2) – 3(z – 3) = 0.

⇔ 4x – 5y + 3z – 27 = 0.