Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng delta

27/235

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và hai điểm \(A\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)\,,\,\,B\left( { - 1\,;\,\,1\,;\,\,2} \right).\) Biết điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của \(a + 2b + 4c\) bằng

\( - 1.\)

Giải thích

Do \(M \in \Delta \) nên \(M\left( {2t\,;\,\, - 1 + t\,;\,\,1 - t} \right)\).

\(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - 2t\,;\,\,1 - t\,;\,\,t} \right)\); \(\overrightarrow {MB} = \left( { - 1 - 2t\,;\,\,2 - t\,;\,\,1 + t} \right)\); \(3\overrightarrow {MB} = \left( { - 3 - 6t\,;\,\,6 - 3t\,;\,\,3 + 3t} \right)\);

\(\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} = \left( {4 + 4t\,;\,\, - 5 + 2t\,;\,\, - 3 - 2t} \right)\);

\(\left| {\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} } \right| = \sqrt {24{t^2} + 24t + 50} = \sqrt {24{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2} + 44} \ge \sqrt {44} \).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt {44} \) khi \(t = \frac{{ - 1}}{2}\).

Do đó điểm \(M\) có tọa độ là \(M\left( { - 1; - \frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và \(a + 2b + 4c = - 1 - 3 + 6 = 2.\) Chọn D.