Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d1:( x−1)/2 = y/1 = (z+1)/−1 và d2: x/1 = (y−1)/−2 = z/1. Đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; 1; 0) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2. Những phương án nào dướ

26/40

Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\). Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {7;4; - 2} \right)\).

2. Phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = t\end{array} \right.\).

3. Đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) tại điểm \(I\left( {0; - \frac{1}{7};\frac{4}{7}} \right)\).

4. Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(x + y + z = 0\).

5. Khoảng cách từ điểm \(N\left( {1;0;1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ hơn 1.

Giải thích

Giả sử \(\Delta \) cắt đường thẳng \({d_1}\) tại \(A\left( {1 + 2t;t; - 1 - t} \right)\) và cắt đường thẳng \({d_2}\) tại điểm \(B\left( {t';1 - 2t';t'} \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {2t - 1;t - 1; - 1 - t} \right);\overrightarrow {MB} = \left( {t' - 2; - 2t';t'} \right)\).

Vì đường thẳng \(\Delta \) đi qua ba điểm \(M,A,B\) nên ta có \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) cùng phương.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}2t - 1 = k\left( {t' - 2} \right)\\t - 1 = - 2kt'\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 1 = kt' - 2k\\t - 1 = - 2kt'\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 1 = - 1 - t - 2k\\t - 1 = - 2\left( { - 1 - t} \right)\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{9}{2}\\t = - 3\\t' = \frac{4}{9}\end{array} \right.\).

Với \(t = - 3\) thì \(\overrightarrow {MA} = \left( { - 7; - 4;2} \right)\).

1. Đúng. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {7;4; - 2} \right)\).

2. Sai. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {7;4; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z = - 2t\end{array} \right.\).

3. Đúng. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z = - 2t\\x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{2}{7}\\y = - \frac{1}{7}\\z = \frac{4}{7}\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0; - \frac{1}{7};\frac{4}{7}} \right)\).

4. Sai. Mặt phẳng \(x + y + z = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) không cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nên đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với mặt phẳng \(x + y + z = 0\).

5. Đúng. Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua \(N\left( {1;0;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).

Khi đó mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng \(7\left( {x - 1} \right) + 4y - 2\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + 4y - 2z - 5 = 0\).

Gọi H là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z = - 2t\\7x + 4y - 2z - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z = - 2t\\7\left( {2 + 7t} \right) + 4\left( {1 + 4t} \right) - 2 \cdot \left( { - 2t} \right) - 5 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{47}}{{69}}\\y = \frac{{17}}{{69}}\\z = \frac{{26}}{{69}}\\t = - \frac{{13}}{{69}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{47}}{{69}};\frac{{17}}{{69}};\frac{{26}}{{69}}} \right)\).

Khi đó \(d\left( {N,\Delta } \right) = NH = \sqrt {{{\left( {\frac{{47}}{{69}} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{17}}{{69}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{26}}{{69}} - 1} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{38}}{{69}}} \approx 0,74\). Chọn ý 1, 3, 5.