Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d1: (x − 1)/2 = y/1 = (z + 1)/(-1) và d2: x/1 = (y − 1)/(-2) = z/1. Đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; 1; 0) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2. Những phương

30/40

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\). Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {7;4; - 2} \right)\).

2. Phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = t\end{array} \right.\).

3. Đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) tại điểm \(I\left( {0; - \frac{1}{7};\frac{4}{7}} \right)\).

4. Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(x + y + z = 0\).

5. Khoảng cách từ điểm \(N\left( {1;0;1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ hơn 1.

Giải thích

Giả sử \(\Delta \) cắt đường thẳng \({d_1}\) tại \(A\left( {1 + 2t;t; - 1 - t} \right)\) và cắt đường thẳng \({d_2}\) tại điểm \(B\left( {t';1 - 2t';t'} \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {2t - 1;t - 1; - 1 - t} \right);\overrightarrow {MB} = \left( {t' - 2; - 2t';t'} \right)\).

Vì đường thẳng \(\Delta \) đi qua ba điểm \(M,A,B\) nên ta có \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) cùng phương.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}2t - 1 = k\left( {t' - 2} \right)\\t - 1 = - 2kt'\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 1 = kt' - 2k\\t - 1 = - 2kt'\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 1 = - 1 - t - 2k\\t - 1 = - 2\left( { - 1 - t} \right)\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{9}{2}\\t = - 3\\t' = \frac{4}{9}\end{array} \right.\).

Với \(t = - 3\) thì \(\overrightarrow {MA} = \left( { - 7; - 4;2} \right)\).

1. Đúng. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {7;4; - 2} \right)\).

2. Sai. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {7;4; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z = - 2t\end{array} \right.\).

3. Đúng. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z = - 2t\\x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{2}{7}\\y = - \frac{1}{7}\\z = \frac{4}{7}\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0; - \frac{1}{7};\frac{4}{7}} \right)\).

4. Sai. Mặt phẳng \(x + y + z = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) không cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nên đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với mặt phẳng \(x + y + z = 0\).

5. Đúng. Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua \(N\left( {1;0;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).

Khi đó mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng \(7\left( {x - 1} \right) + 4y - 2\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + 4y - 2z - 5 = 0\).

Gọi H là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z = - 2t\\7x + 4y - 2z - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z = - 2t\\7\left( {2 + 7t} \right) + 4\left( {1 + 4t} \right) - 2 \cdot \left( { - 2t} \right) - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{47}}{{69}}\\y = \frac{{17}}{{69}}\\z = \frac{{26}}{{69}}\\t = - \frac{{13}}{{69}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{47}}{{69}};\frac{{17}}{{69}};\frac{{26}}{{69}}} \right)\).

Khi đó \(d\left( {N,\Delta } \right) = NH = \sqrt {{{\left( {\frac{{47}}{{69}} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{17}}{{69}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{26}}{{69}} - 1} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{38}}{{69}}} \approx 0,74\). Chọn ý 1, 3, 5.