Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: (x−1)/2 = (y+2)/1 = (z+1)/(−3) và điểm A(2;−5;−6). Những phương án nào dưới đây đúng?

30/40

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\) và điểm \(A\left( {2; - 5; - 6} \right).\) Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\).

2. Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) có phương trình là \(2x + y - 3z + 17 = 0\).

3. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\). Toạ độ của \(H\) là \(H\left( {3; - 1; - 4} \right)\).

4. Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất, khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(x + 4y + 2z + 7 = 0\).

Giải thích

1. Đúng. Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 3} \right)\).

2. Sai. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\).

Suy ra \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 3} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 5} \right) - 3\left( {z + 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 3z - 17 = 0\)

3. Đúng. \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 2 + t; - 1 - 3t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2t - 1;t + 3;5 - 3t} \right)\).

\(AH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow \left( {2t - 1} \right) \cdot 2 + \left( {t + 3} \right) \cdot 1 - 3 \cdot \left( {5 - 3t} \right) = 0\)\( \Rightarrow 14t - 14 = 0 \Rightarrow t = 1\).

Vậy \(H\left( {3; - 1; - 4} \right)\).

4. Sai. Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\).

\(AK \bot \left( P \right) \Rightarrow AK \bot HK\) nên \(\Delta AHK\) vuông tại \(K\)

\( \Rightarrow d\left( {A,\left( P \right)} \right) = AK \le AH\): hằng số

Để \[d\left( {A,\left( P \right)} \right)\] lớn nhất thì \(K \equiv H\)\( \Rightarrow K\left( {3; - 1; - 4} \right)\).

Khi đó \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AK} = \left( {1;4;2} \right)\) và đi qua điểm \(K\left( {3; - 1; - 4} \right)\) nên có phương trình \(1\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y + 2z + 9 = 0\). Chọn 1, 3.