Trong không gian oxyz cho đường thẳng d: x+1/-2 = y/1 = z-1/1 và điểm A(1;2;3)

33/150

Trong không gian \[Oxyz,\] cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\) và điểm \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất. Khi đó một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) có toạ độ là

\(\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right).\)

\(\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right).\)

\(\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,1} \right).\)

\(\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,1} \right).\)

Giải thích

Gọi \[H,\,\,K\] lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(d\,,\,\,\left( P \right).\)

Khi đó \(d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right) = AK \le AH.\) Dấu xảy ra khi \(H \equiv K.\)

\(H \in d \Rightarrow H\left( { - 2t - 1\,;\,\,t\,;\,\,t + 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( { - 2t - 2\,;\,\,t - 2\,;\,\,t - 2} \right)\)

\({\rm{M\`a }}\overrightarrow {AH} \bot {\vec u_d}{\rm{ n\^e n }} - 2\left( { - 2t - 2} \right) + 1\left( {t - 2} \right) + 1\left( {t - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4t + 4 + 2t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow H\left( { - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right).\)

Do đó \[{\vec n_{\left( P \right)}} = k \cdot \overrightarrow {AH} = k \cdot \left( { - 2\,;\,\, - 2\,;\,\, - 2} \right) = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right).\] Chọn B.