Trong không gian oxyz cho đường thẳng d: x+1/2 = y/-1 = z-1/1 cắt mặt phẳng

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,1} \right)\) và mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right).\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) ta có \(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\vec n \cdot \vec u} \right|}}{{\left| {\vec n} \right| \cdot \left| {\vec u} \right|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = 30^\circ .\)

Đặt \(IA = x\) thì ta sẽ có \(MA = IA \cdot \cot 30^\circ  = x\sqrt 3 .\)

Diện tích của tam giác \[IAM\] bằng:

\({S_{IAM}} = \frac{1}{2}IA \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x\sqrt 3  = 12\sqrt 3  \Rightarrow x = \sqrt {24} .\)

Do \(I \in d \Rightarrow I\left( { - 1 + 2t\,;\,\, - t\,;\,\,1 + t} \right)\), điều kiện \( - 1 + 2t > 0 \Leftrightarrow t > \frac{1}{2}.\)

Khi đó \[d\left( {I;\,\,\left( P \right)} \right) = IA = \frac{{\left| { - 1 + 2t + 2t - \left( {1 + t} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {3t - 3} \right|}}{{\sqrt 6 }} = 2\sqrt 6 \]

\[ \Leftrightarrow 3\left| {t - 1} \right| = 12 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 1 = 4}\\{t - 1 =  - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 5{\rm{ (TM) }}}\\{t =  - 3{\rm{ (L) }}}\end{array}} \right.} \right.\].

Với \[t = 5 \Rightarrow I\left( {9\,;\,\, - 5\,;\,\,6} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 9}\\{b =  - 5.}\\{c = 6}\end{array}} \right.\] Vậy \[a + b + c = 10.\]