Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng alpha: x/2 = y/-1 = z-1/-1 và hai điểm

35/150

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,\, - 1\,;\,\,6} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right).\) Biết điểm \(M\) thuộc \(\Delta \) sao cho biểu thức \(M{A^2} + 3M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \({T_{\min }}.\) Khi đó giá trị của \({T_{\min }}\) bằng

\({T_{\min }} = \frac{1}{2}.\)

\({T_{\min }} = 25.\)

\({T_{\min }} = \frac{{25}}{2}.\)

\({T_{\min }} = 39.\)

Giải thích

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \[\vec u = \left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\, - 1} \right)\] nên có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = - t}\\{z = 1 - t}\end{array}(t \in \mathbb{R})} \right..\)

Vì \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên \(M\left( {2t\,;\,\, - t\,;\,\,1 - t} \right).\)

Ta có \[M{A^2} + 3M{B^2} = {\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {t + 5} \right)^2} + 3\left[ {{{\left( {2t - 2} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2}} \right]\]

\( = 24{t^2} - 24t + 45 = 6\left( {4{t^2} - 4t + \frac{{45}}{6}} \right)\)\( = 6\left[ {{{\left( {2t - 1} \right)}^2} + \frac{{39}}{6}} \right] = 6{\left( {2t - 1} \right)^2} + 39 \ge 39,\,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t = \frac{1}{2}\) hay \(M\left( {1\,;\,\, - \frac{1}{2}\,;\,\,\frac{1}{2}} \right).\)

Vậy \({T_{\min }} = 39.\) Chọn D.