Trong không gian Oxyz cho đường thẳng alpha: x/1 = y-1/1 = z+2/-2

35/150

Trong không gian \[Oxyz,\] cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\) và ba điểm \[A\left( {1\,;\,\,3\,;\,\, - 2} \right),\]\[B\left( {0\,;\,\,4\,;\,\, - 5} \right),\,\,C\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 4} \right)\]. Biết điểm \[M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\] thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của \(a + b + c\) bằng

-1

Giải thích

Vì \[M \in \Delta \Rightarrow M\left( {t\,;\,\,1 + t\,;\,\, - 2 - 2t} \right)\] nên ta có

• \[M{A^2} = {\left( {1 - t} \right)^2} + {\left( {2 - t} \right)^2} + {\left( {2t} \right)^2} = 6{t^2} - 6t + 5\]

• \(M{B^2} = {\left( { - t} \right)^2} + {\left( {3 - t} \right)^2} + {\left( { - 3 + 2t} \right)^2} = 6{t^2} - 18t + 18;\)

• \(M{C^2} = {\left( {1 - t} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} + {\left( { - 2 + 2t} \right)^2} = 6{t^2} - 12t + 6 \Rightarrow 2M{C^2} = 12{t^2} - 24t + 12.\)

Suy ra \(M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} = 24{t^2} - 48t + 35 = 24\left( {{t^2} - 2t + 1} \right) + 11 = 24{\left( {t - 1} \right)^2} + 11 \ge 11\)

Nên \(M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t = 1\).

Do đó \[M\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 4} \right)\] nên \(a = 1\,;\,\,b = 2\,;\,\,c = - 4.\) Vậy \(a + b + c = - 1.\) Chọn B.