Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {3;1;9} \right)\), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}

14/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {3;1;9} \right)\), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\).

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).

b) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\).

c) Một điểm \(A\) bất kì thuộc đường thẳng \(d\) đều có tọa độ dạng \(A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\), cắt đường thẳng \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}3 = t\\1 = - 1 - t\\9 = 2 + 2t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 2\\t = \frac{7}{2}\end{array} \right.\) (loại).

Vậy điểm \(M\) không thuộc đường thẳng \(d\).

Với \(A \in d\) thì \(A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\).Gọi \(A = \Delta \cap d\)\( \Rightarrow A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\); \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Vì \(M \notin d\) nên suy ra \(\overrightarrow {MA} = \left( {t - 3; - t - 2;2t - 7} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

Do \(\Delta \,{\rm{//}}\left( \alpha \right)\) nên suy ra \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {{n_\alpha }} = 0\)\( \Rightarrow t - 3 - t - 2 - 2t + 7 = 0 \Rightarrow t = 1\)\( \Rightarrow A\left( {1; - 2;4} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}\).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.