Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm $M\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}\,;\,\,0} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4.$ Đường thẳng \[d\] thay đổi, đi qua điểm \[M,\]

50/150

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm $M\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}\,;\,\,0} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4.$ Đường thẳng \[d\] thay đổi, đi qua điểm \[M,\] cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm \[A,\,\,B\] phân biệt. Gọi \[S\] diện tích của tam giác \[OAB.\] Khi đó $S_{\max }^2$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: ……….

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm $M\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}\,;\,\,0} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4.$ Đường thẳng \[d\] thay đổi, đi qua điểm \[M,\] cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm \[A,\,\,B\] phân biệt. Gọi \[S\] diện tích của tam giác \[OAB.\] Khi đó $S_{\max }^2$ bằng bao nhiêu? Đáp án: ………. (ảnh 1)$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R = 2$.

Ta có: $OM = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$ nên M nằm trong mặt cầu $(S)$.

Ta có: ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}AB \cdot d(O;d) = AH \cdot OH = \sqrt {4 - O{H^2}} \cdot OH$.

Vì $OH \le OM$ nên diện tích ${\rm{AOB}}$ lớn nhất

$ \Leftrightarrow OH = OM \Leftrightarrow OM \bot AB$.

Khi đó ${S_{\max }} = \sqrt {4 - O{M^2}} \cdot OM = \frac{{\sqrt {55} }}{4} \Rightarrow {S_{{{\max }^2}}} = \frac{{55}}{{16}}$.

Đáp án: $\frac{{55}}{{16}}$.

Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(M\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}\,;\,\,0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4.\) Đường thẳng \[d\] thay đổi, đi qua điểm \[M,\]