Trong không gian oxyz cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các

30/150

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(M\left( {3\,;\,\,2\,;\,\,1} \right).\) Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \[Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\] lần lượt tại các điểm \[A,\,\,B,\,\,C\] không trùng với gốc tọa độ sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \[ABC.\] Mặt phẳng nào dưới đây song song với \((P)\)?

\(3x + 2y + z + 14 = 0.\)

\(2x + y + 3z + 9 = 0.\)

\(3x + 2y + z - 14 = 0.\)

\(2x + y + z - 9 = 0.\)

Giải thích

Gọi \[A\left( {a\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,b\,;\,\,0} \right),\,\,C\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,c} \right)\]

Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1(a.b.c \ne 0)\)

Vì \(M \in (P)\) nên \(\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\).

Ta có: \[\overrightarrow {MA} = \left( {a - 3\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( { - 3\,;\,\,b - 2\,;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0\,;\,\, - b\,;\,\,c} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - a\,;\,\,0\,;\,\,c} \right).\]

Vì \(M\) là trực tâm tam giác ABC nên: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2b - c = 0}\\{3a - c = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2b = c}\\{3a = c}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Tử (1) và (2) suy ra \(a = \frac{{14}}{3}\,;\,\,b = \frac{{14}}{2}\,;\,\,c = 14.\)

Khi đó phương trình \((P):3x + 2y + z - 14 = 0\).

Vật mặt phẳng song song với \((P)\) là: \(3x + 2y + z + 14 = 0.\) Chọn A.