Trong không gian Oxyz, cho điểm M (- 1;3;4) và mặt phẳng (P):3x - 4y + z + 1 = 0

17/25

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( { - 1;3;4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 4y + z + 1 = 0\).

1. Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng	A. \(\sqrt {\frac{{167}}{{13}}} \).
2.Khoảng cách từ điểm gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\)bằng	B. \(\frac{{167\sqrt {13} }}{{13}}\).
3.Mặt phẳng \(\left( Q \right): - 3x + 4y - z + 13 = 0\) cách mặt phẳng \(\left( P \right)\) một khoảng bằng	C. \(\frac{{5\sqrt {26} }}{{13}}\).
4.Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(\left( P \right)\). Gọi \(N\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(HN \le 3\). Khi đó khoảng cách lớn nhất của đoạn \(MN\) là	D. \(\frac{{\sqrt {26} }}{{26}}\).
	E. \(\frac{{\sqrt {29} }}{{29}}\).
	F. \(\frac{{7\sqrt {26} }}{{13}}\).

Đáp án: 1 – __ ; 2 – __ ; 3 – __ ; 4 – __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có \[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 \cdot 3 + 4 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {26} }} = \frac{{5\sqrt {26} }}{{13}}\].

Ta có \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {26} }} = \frac{{\sqrt {26} }}{{26}}\).

Dễ thấy \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( P \right)\). Lấy điểm \(A\left( {0;0;13} \right) \in \left( Q \right)\). Khi đó ta có:

\(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 13 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {1^2}} }} = \frac{{14}}{{\sqrt {26} }} = \frac{{7\sqrt {26} }}{{13}}\).

Dễ thấy \(MH = \frac{{5\sqrt {26} }}{{13}}\) và \(N\) là điểm nằm trong phần hình tròn tâm \(H\), bán kính \(R = 3\).

Khi đó \(MN\) lớn nhất khi \(HN\) lớn nhất hay \(HN = R = 3\).

Vậy giá trị \(MN\) lớn nhất là \(MN = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt {26} }}{{13}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{167}}{{13}}} \).

Đáp án: 1 – C; 2 – D; 3 – F; 4 – A.