Trong không gian Oxyz , cho điểm E ( 2 ; 1 ; 3 ) , mặt phẳng ( P ) : 2x + 2y − z − 3 = 0 và mặt cầu ( S ) : ( x − 3 )^2 + ( y − 2 )^2 + ( z − 5 )^ 2 = 36 . Gọi Δ là đường thẳng đi qua

30/50

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(E\left( {2;1;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng đi qua \(E\), nằm trong \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \({\rm{\Delta }}\) là

\(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {1;1;4} \right)\).

\(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {5; - 3;4} \right)\).

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 1;0} \right)\).

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4; - 3;2} \right)\)

Giải thích

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\) có tâm \(I\left( {3;2;5} \right)\) và bán kính \(R = 6\).

Ta có \(\overrightarrow {EI} = \left( {1;1;2} \right)\) và \(EI = \sqrt 6 < R\) nên \(E\) nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

\({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng đi qua \(E\) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất nên \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \bot \overrightarrow {EI} \).

Mặt khác, \({\rm{\Delta }}\) nằm trong ( \(P\) ) nên \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {EI} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 5;5;0} \right)\). Do đó, chọn \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {1; - 1;0} \right)\). Chọn C.