Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;4) và hai đường thẳng

70/100

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A(1;2;4)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}\), \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 1 + t{\rm{. }}}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)Đường thẳng Δ qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 có phương trình là

\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\).

\(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{2}\).

\(\frac{{x + 1}}{{ - 5}} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z + 4}}{2}\).

\(\frac{{x - 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{2}\).

Giải thích

Bước 1: Gọi điểm \(M(1 - t;1 + t;2t) \in {d_2}\). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = ( - t;t - 1;2t - 4)\).

Bước 2: Tìm vecto chỉ phương đường thẳng \({d_1}\)

Bước 3: \(AM \bot {d_1}(AM \equiv \Delta )\) nên tìm được \({\rm{t}}\)

Bước 4: Lập phương trình cần tìm bằng cách thay \(t\) đã rìm được vào

\(\overrightarrow {AM} = ( - t;t - 1;2t - 4){\rm{. }}\)

Lời giải

Gọi \(M(1 - t;1 + t;2t) \in {d_2}\). Ta có: \(\overrightarrow {AM} = ( - t;t - 1;2t - 4)\).

Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = (1;1;1)\).

Do \(AM \bot {d_1}(AM \equiv \Delta )\) nên \(\overrightarrow {AM} .{\vec u_1} = 0 \Leftrightarrow 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\).

Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A(1;2;4)\) và có một vectơ chỉ phương là

\(\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2};1} \right) = \frac{1}{2}( - 5;3;2)\), có phương trình là \(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{2}\).