Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;1) và mặt phẳng (P): x+ 2y = 0

20/150

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(A\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y = 0.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\), song song với \(\left( P \right)\) và cách điểm \(B\left( { - 1\,;\,\,0\,;\,\,2} \right)\) một khoảng ngắn nhất. Hỏi \(\Delta \) nhận vectơ nào dưới đây làm VTCP?

\(\vec u = \left( {6\,;\,\,3\,;\,\, - 5} \right).\)

\(\vec u = \left( {6\,;\,\, - 3\,;\,\,5} \right).\)

\(\vec u = \left( {6\,;\,\,3\,;\,\,5} \right).\)

\(\vec u = \left( {6\,;\,\, - 3\,;\,\, - 5} \right).\)

Giải thích

Gọi \(\left( Q \right)\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\left( P \right)\). Suy ra \(\left( Q \right)\) có phương trình:

\(x - 1 + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 3 = 0.{\rm{ }}\)

Khi đó \(d{\left( {B\,;\,\,\Delta } \right)_{\min }} = BH\) với \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Đường thẳng \[BH\] đi qua \(B\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2}\end{array},\,\,t \in \mathbb{R}} \right.,\) ta được \(H\left( { - \frac{1}{5};\,\,\frac{8}{5};\,\,2} \right).\) Do đó \(\Delta \) là đường thẳng AH có \(\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{6}{5};\,\, - \frac{3}{5};\,\, - 1} \right).\)

Suy ra \(\vec u = \left( {6\,;\,\, - 3\,;\,\, - 5} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta .\) Chọn D.