Trong không gian Oxyz, cho các điểmA (-1; 2; 1), B (2; -1; 3)

21/22

Trong không gian \[Oxyz\], cho các điểm \(A\left( { - 1; 2; 1} \right)\),\(B\left( {2; - 1; 3} \right)\),\[C\left( {3; 5; - 1} \right)\]. Điểm \[M\left( {a; b; c} \right)\] trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta có \(2b + c\) bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta chứng minh được ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} \).

Nên \[\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} + 3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} } \right|\].

Gọi \(N\) là điểm thỏa \(3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} = \vec 0\) nên \(\left| {3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|4\overrightarrow {MN} } \right|\).

Để \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| {4\overrightarrow {MN} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất hay \(M\) là hình chiếu của \(N\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(G\left( {\frac{4}{3};2;1} \right)\).

\(3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3\left( {{x_G} - {x_N}} \right) + \left( {{x_B} - {x_N}} \right) = 0}\\{3\left( {{y_G} - {y_N}} \right) + \left( {{y_B} - {y_N}} \right) = 0}\\{3\left( {{z_G} - {z_N}} \right) + \left( {{z_B} - {z_N}} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{1}{4}\left( {3{x_G} + {x_B}} \right)}\\{{y_N} = \frac{1}{4}\left( {3{y_G} + {y_B}} \right)}\\{{z_N} = \frac{1}{4}\left( {3{z_G} + {z_B}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{1}{4}\left( {3 \cdot \frac{4}{3} + 2} \right)}\\{{y_N} = \frac{1}{4}\left( {3 \cdot 2 - 1} \right)}\\{{z_N} = \frac{1}{4}\left( {3 \cdot 1 + 3} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{3}{2}}\\{{y_N} = \frac{5}{4}}\\{{z_N} = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\] nên \(\left. {N\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{2}} \right.} \right)\).

Vậy tọa độ điểm \(M\left( {0;\frac{5}{4};\frac{3}{2}} \right)\). Hay \(2b + c = 4\).

Đáp án:4.