Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right),B\left( {2;4; - 2} \right)\) và \(C'\left( {3;2; - 2} \right)\).

Tọa độ trung điểm \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\) của đoạn thẳng \(OB\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{{x_B} + {x_O}}}{2}\\{y_C} = \frac{{{y_B} + {y_O}}}{2}\\{z_C} = \frac{{{z_B} + {z_O}}}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 1\\{y_C} = 2\\{z_C} = - 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(C\left( {1;2; - 1} \right)\).

Vì \(A,C,C'\) không thẳng hàng nên để tứ giác \(ACC'A'\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} - 1 = 2\\{y_{A'}} + 3 = 0\\{z_{A'}} - 2 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 3\\{y_{A'}} = - 3\\{z_{A'}} = 1\end{array} \right.\). Do đó \(A'\left( {3; - 3;1} \right)\). Vậy cao độ của điểm \(A'\) là \(z = 1\).

Vì điểm \(B'\) là đỉnh còn lại của hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) nên \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 2 = 2\\{y_{B'}} - 4 = 0\\{z_{B'}} + 2 = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 4\\{y_{B'}} = 4\\{z_{B'}} = - 3\end{array} \right.\). Do đó \(B'\left( {4;4; - 3} \right)\). Vậy tung độ của điểm \(B'\) là \(y = 4\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;7; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0;5; - 3} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;3;5} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;3;5} \right)\) có dạng:

\( - \left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 3} \right) + 5\left( {z - 2} \right) = 0\) hay \(x - 3y - 5z = 0\).

Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt {35} }}{2}\); \(d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 3 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 5} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {35} }}\).

Do đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{7}{{\sqrt {35} }} \cdot \frac{{\sqrt {35} }}{2} = \frac{7}{2}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.