Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; −2; −1) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.

Vì mặt phẳng (α) song song với trục Oy và đường thẳng BC nên nhận \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là:

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ - 2}&2\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( { - 1;0;2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; −2; −1) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;0;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có dạng: \( - \left( {x - 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0\) hay x – 2z – 3 = 0.