Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( 8 ; 9 ; 2 ) , B ( 3 ; 5 ; 1 ) và C ( 11 ; 10 ; 4 ) . a) Điểm D thỏa mãn A B C D là hình bình hành có tọa độ là D ( 6 ; 6 ; 3 )

15/22

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {8;9;2} \right)\), \(B\left( {3;5;1} \right)\) và \(C\left( {11;10;4} \right)\).

a) Điểm \(D\) thỏa mãn \(ABCD\) là hình bình hành có tọa độ là \(D\left( {6;6;3} \right)\)

b) Độ dài trung tuyến \(AM\) bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\).

c) \(\widehat {BAC} = {30^ \circ }\).

d) Điểm \(N\) thuộc mp\(\left( {Oxy} \right)\) sao cho ba điểm \(A\), \(B\), \(N\) thẳng hàng có tọa độ là \(N\left( { - 2;1;0} \right)\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Sai

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {11 - x;10 - y;4 - z} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 = 11 - x\\ - 4 = 10 - y\\ - 1 = 4 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 14\\z = 5.\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( {16;14;5} \right)\).

b) Đúng

Tọa độ trung điểm \(M\) của \(BC\) là \(M\left( {7;\frac{{15}}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 1; - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Suy ra \(AM = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).

c) Sai

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)\).

Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{\left( { - 5} \right).3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(\widehat {BAC} = {150^ \circ }\).

d) Đúng

Vì \(N \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(N\left( {x;y;0} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AN} = \left( {x - 8;y - 9; - 2} \right)\).

Vì 3 điểm \(A,B,N\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \). Khi đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 8}}{{ - 5}} = 2\\\frac{{y - 9}}{{ - 4}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 8 = - 10\\y - 9 = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1.\end{array} \right.\]

Vậy \(N\left( { - 2;1;0} \right)\).