Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 3; 4) ,B (1; 2; 1)

13/22

Trong không gian\[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {5;3;4} \right),B\left( {1;2;1} \right),C\left( {8; - 3;2} \right)\]. Gọi \[D\left( {a;b;c} \right)\] là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh \[A\]của tam giác \[ABC\].

a) Trọng tâm của tam giác \[ABC\] là \[G\left( {\frac{{14}}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\].

b)\[BC = 5\sqrt 2 \].

c) Tam giác \[ABC\]là tam giác vuông.

d) Giá trị \[a + 2b + 3c\] là một số nguyên.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đúng. Tọa độ trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\] là \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{14}}{3}\\{y_G} = \frac{2}{3}\\{z_G} = \frac{7}{3}\end{array} \right.\].

b) Sai. Ta có \[BC = \sqrt {{{\left( {8 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = 5\sqrt 3 \].

c) Đúng. Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 1; - 3} \right)\,;\,\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 6; - 2} \right)\].

Suy ra \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\] nên \[AB \bot AC\]. Vậy tam giác\[ABC\]là tam giác vuông tại \[A\].

d) Đúng.Ta có \[\overrightarrow {BD} = \left( {a - 1;b - 2;c - 1} \right)\], \[\overrightarrow {DC} = \left( {8 - a; - 3 - b;2 - c} \right)\].

Tam giác \[ABC\]có \[D\] là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh \[A\]\[ \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {26} }}{7}\].

Khi đó \[\overrightarrow {BD} = \frac{{\sqrt {26} }}{7}\overrightarrow {DC} \]\[ \Leftrightarrow \left( {a - 1;b - 2;c - 1} \right) = \frac{{\sqrt {26} }}{7}\left( {8 - a; - 3 - b;2 - c} \right)\]

\[ \Leftrightarrow a = \frac{{7 + 8\sqrt {26} }}{{7 + \sqrt {26} }}\,;\,b = \frac{{14 - 3\sqrt {26} }}{{7 + \sqrt {26} }}\,;\,c = \frac{{ - 3 + 7\sqrt {26} }}{{23}}\].

Vậy \[a + 2b + 3c = 8\].