Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(- 2;3;1), B(2;1;0), C(- 3; - 1;1) và D(1;1;1). Gọi

15/22

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( { - 2;3;1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\), \(C\left( { - 3; - 1;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thoả mãn hệ thức \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} = \vec 0\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

Điểm I có tung độ bằng \( - 1\).

ĐúngSai

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc \(\left( {Oxz} \right)\) sao cho \(A,B,M\) thẳng hàng. Giá trị của \(a + b + c\) là \( - \frac{{11}}{2}\).

ĐúngSai

Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là điểm \(A'\left( {0;3;0} \right)\).

ĐúngSai

\(\overrightarrow {IA} = \left( { - 2 - x;3 - y;1 - z} \right)\).

ĐúngSai

Giải thích

d) Đúng. Theo định nghĩa tọa độ vectơ, \(\overrightarrow {IA} = \left( {{x_A} - {x_I};{y_A} - {y_I};{z_A} - {z_I}} \right) = \left( { - 2 - x;3 - y;1 - z} \right)\).

a) Sai. Từ hệ thức vectơ ta tìm tọa độ tâm tỉ cự \(I\):

\({x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + 2{x_D}}}{{1 + 1 + 1 + 2}} = \frac{{ - 2 + 2 - 3 + 2 \cdot 1}}{5} = \frac{{ - 1}}{5}\)

\({y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + 2{y_D}}}{5} = \frac{{3 + 1 - 1 + 2 \cdot 1}}{5} = \frac{5}{5} = 1\)

Tung độ của điểm \(I\) phải bằng \(1\), không phải \( - 1\).

b) Sai. Vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2; - 1} \right)\). Phương trình đường thẳng AB đi qua B là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\).

Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) nên tung độ của \(M\) phải bằng \(0 \Rightarrow {y_M} = 0\).

Từ phương trình đường thẳng AB, ta cho \(y = 0 \Leftrightarrow 1 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\).

Thay \(t = \frac{1}{2}\) vào ta được tọa độ của \(M\):

\({x_M} = 2 + 4 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) = 4 \Rightarrow a = 4\)

\({y_M} = 0 \Rightarrow b = 0\)

\({z_M} = - \frac{1}{2} \Rightarrow c = - \frac{1}{2}\)

Vậy \(a + b + c = 4 + 0 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\). Mệnh đề ghi giá trị bằng \( - \frac{{11}}{2}\) là Sai.

c) Sai. Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( { - 2;3;1} \right)\) lên mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxz} \right)\) thu được bằng cách giữ nguyên hoành độ, cao độ và cho tung độ bằng 0. Do đó hình chiếu phải là \(A'\left( { - 2;0;1} \right)\).