Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( − 2 ; 0 ; 2 ) , B ( 3 ; − 2 ; 4 ) , C ( 1 ; 5 ; − 5 ) , A ′ ( 3 ; 5 ; 7 ) , B ′ ( 8 ; 3 ; 9 ) . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?

15/22

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( { - 2;0;2} \right)\), \(B\left( {3; - 2;4} \right)\), \(C\left( {1;5; - 5} \right)\), \(A'\left( {3;5;7} \right)\), \(B'\left( {8;3;9} \right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?

a) Trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) có tọa độ là \(M\left( {2;\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

b) Trọng tâm tam giác \(A'BC\) có tọa độ là \[G\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3};2} \right)\].

c) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{{58}}{{\sqrt {33} \cdot \sqrt {58} }}\).

d) Khi\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác thì tọa độ trọng tâm \(G'\) của tam giác \[A'B'C'\] là \[G'\left( {\frac{{17}}{3};6;\frac{{17}}{3}} \right)\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Sai vì trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) có tọa độ

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 2\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{3}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_B} + {z_C}}}{2} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)

b) Đúng vì trọng tâm tam giác \(A'BC\) có tọa độ là

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_{A'}} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{7}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_{A'}} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{8}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_{A'}} + {z_B} + {z_C}}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3};2} \right)\]

c) Sai vì

\(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{{5 \cdot 10 + \left( { - 2} \right) \cdot 3 + 2 \cdot 7}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{10}^2} + {3^2} + {7^2}} }} = \frac{{58}}{{\sqrt {33} \cdot \sqrt {158} }}\)

d) Sai.

Tam giác \(ABC\) có trọng tâm \[G\left( {\frac{2}{3};1;\frac{1}{3}} \right)\], tam giác \[A'B'C'\] có trọng tâm \[G'\].

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ nên \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {GG'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} - {x_G} = {x_{A'}} - {x_A}\\{y_{G'}} - {y_G} = {y_{A'}} - {y_A}\\{z_{G'}} - {z_G} = {z_{A'}} - {z_A}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \frac{{17}}{3}\\{y_{G'}} = 6\\{z_{G'}} = \frac{{16}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G'\left( {\frac{{17}}{3};6;\frac{{16}}{3}} \right)\].