Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;3; - 1), B( - 8;7; - 3) và C(m;n;p). Biết điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy)

Vì điểm \(C \in \left( {Oxy} \right)\) nên cao độ của \(C\) bằng \(0\), tức là \(p = 0 \Rightarrow C\left( {m;n;0} \right)\).

Ta có các vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 10;4; - 2} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {m - 2;n - 3;1} \right)\).

Để ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương. Do đó tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\overrightarrow {AC} = k \cdot \overrightarrow {AB} \), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = - 10k\\n - 3 = 4k\\1 = - 2k\end{array} \right. \Rightarrow k = - \frac{1}{2}\).

Thay \(k = - \frac{1}{2}\) ngược lại hệ phương trình để tìm \(m\) và \(n\):

\(m - 2 = - 10 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 5 \Rightarrow m = 7\)

\(n - 3 = 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 2 \Rightarrow n = 1\)

Vậy tọa độ điểm \(C\) là \(\left( {7;1;0} \right)\), nghĩa là \(m = 7,n = 1,p = 0\).

Giá trị của biểu thức \(m + n + p\) là: \(m + n + p = 7 + 1 + 0 = 8\).

Đáp án: 8.