Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; −1; 1), B(−1; 3; −1), C(5; −3; 4). (a) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng −52. (b) Góc ABC là góc

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;4; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {6; - 6;5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \left( { - 3} \right).6 + 4.\left( { - 6} \right) + \left( { - 2} \right).5 = - 52\).

b) \(\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\)\( = \frac{{52}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {5^2}} }}\)\( = \frac{{52}}{{\sqrt {2813} }} > 0\).

Suy ra \(\widehat {ABC}\) là góc nhọn.

c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;4; - 2} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {3; - 4;5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {DC} \).

Do đó ABCD không là hình bình hành.

d) Ta có \(\overrightarrow {BE} = \left( {2; - 1;x + 1} \right)\).

Để ABE vuông tại B thì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BE} = 0\)\( \Rightarrow - 6 - 4 - 2\left( {x + 1} \right) = 0 \Rightarrow x = - 6\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.