Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {1; - 4;2} \right),B\left( {2;1; - 3} \right),C\left( { - 1;2; - 2} \right)\). (a) Chứng minh ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng từ đó tìm điểm

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 5} \right),\quad \overrightarrow {AC} = \left( { - 2;6; - 4} \right)\).

Ta thấy không tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \) vì \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{5}{6}\). Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương, suy ra ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.

Để \(ABCD\) là hình bình hành, ta cần có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Gọi tọa độ điểm \(D\) là \(\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x;2 - y; - 2 - z} \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 1\\2 - y = 5\\ - 2 - z = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\\z = 3\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm \(D\) cần tìm là \(D\left( { - 2; - 3;3} \right)\).

b) Vì \(M \in Ox\) nên tọa độ của \(M\) có dạng \(M\left( {x;0;0} \right)\).

Ta có: \(M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + 16 + 4 = {x^2} - 2x + 21\); \(M{B^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 + 9 = {x^2} - 4x + 14\).

Yêu cầu \(MA = MB \Leftrightarrow M{A^2} = M{B^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 21 = {x^2} - 4x + 14 \Leftrightarrow 2x = - 7 \Leftrightarrow x = - 3,5\).

Vậy tọa độ điểm \(M\) là \(M\left( { - 3,5;0;0} \right)\).