A) Sai B) Sai C) Đúng D) Đúng

Từ giả thiết, ta có \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b ;\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

A) Giả sử \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow d \). Theo quy tắc hình bình hành thì \(\overrightarrow d \ne \overrightarrow {AC'} \) .

Suy ra \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \ne \overrightarrow c \).

B) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 10\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông cạnh bằng 10).

C) Ta có

\( \bullet \,{(\overrightarrow a + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow {c\,} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600} \)

\( \bullet \,{(\overrightarrow b + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\,\overrightarrow b .\,\overrightarrow {c\,} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10.\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600} \)

Vậy \[\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right|.\]ĐÚNG.

D) Giả sử lực tổng hợp là \[\overrightarrow m \], tức là \[\overrightarrow m = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c .\] Do đó

\[\overrightarrow m = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + 2\overrightarrow b .\overrightarrow c + 2\overrightarrow c .\overrightarrow a \]

\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {10^2} + {10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} + 0 + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 900\]

\[ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow m } \right| = 30\]

Vậy cường độ hợp lực của \[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \] và \[\overrightarrow c \]là \[30(N).\]

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( 1 ; 3 ; 4 ) , B ( 1 ; 0 ; − 2 ) và C ( 4 ; 0 ; 1 ) . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là