Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 1 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 1 ; 0 ) và C ( 0 ; 0 ; 1 ) . Điểm M là điểm thỏa mãn P = MA^ 2 + 2 MB ^2 − MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của

Gọi \[M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 1;y;z} \right)\\\overrightarrow {BM}  = \left( {x;y - 1;z} \right)\\\overrightarrow {CM}  = \left( {x;y;z - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2}\\B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2}\\C{M^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\]\[ = \left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + {z^2}} \right] + 2\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\]

\[ = 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2x - 4y + 2z + 2\]\[ = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + 2{\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} - 1 \ge  - 1\]

\( \Rightarrow {P_{\min }} =  - 1 \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\\z =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow M\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)\).