Trong không gian Oxyz, cho Δ A B C với A ( 1 ; 2 ; 3 ) , B ( 4 ; 5 ; 6 ) , C ( 2 ; 7 ; 4 )

a) Đúng.

Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh\(AB\).

Ta có: \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\,;\,\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\,;\,\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)

Vậy: \(M\left( {\frac{5}{2}\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{9}{2}} \right)\).

b) Đúng.

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Ta có: \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\,\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\,;\,\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)

Vậy: \(G\left( {\frac{7}{3};\,\frac{{14}}{3}\,;\,\frac{{13}}{3}} \right)\).

c) Sai.

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A}\,;\,{y_B} - {y_A}\,;\,{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {3\,;\,3\,;\,3} \right)\)

\(\overrightarrow {AC}  = \left( {{x_C} - {x_A}\,;\,{y_C} - {y_A}\,;\,{z_C} - {z_A}} \right) = \left( {1\,;\,5\,;\,1} \right)\)

Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):

              \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 3.1 + 3.5 + 3.1 = 21\).

d) Đúng.

Ta có:

\(AB = \sqrt {{{(4 - 1)}^2} + {{(5 - 2)}^2} + {{(6 - 3)}^2}}  = 3\sqrt 3 \)

\(BC = \sqrt {{{(2 - 4)}^2} + {{(7 - 5)}^2} + {{(4 - 6)}^2}}  = 2\sqrt 3 \)

\(AC = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(7 - 2)}^2} + {{(4 - 3)}^2}}  = 3\sqrt 3 \)

Chu vi \(\Delta ABC\):

\({P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC = 3\sqrt 3  + 2\sqrt 3  + 3\sqrt 3  = 8\sqrt 3 \).

Ta có nửa chu vi \(\Delta ABC\) là \(p = \frac{1}{2}.8\sqrt 3  = 4\sqrt 3 \).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - AC} \right)} \)

\( = \sqrt {4\sqrt 3 \left( {4\sqrt 3  - 3\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3  - 2\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3  - 3\sqrt 3 } \right)}  = 6\sqrt 2 \,\).