Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm A ( 5 ; − 2 ; 0 ) , B ( 4 ; 5 ; − 2 ) và C ( 0 ; 3 ; 2 ) . Điểm M di chuyển trên trục Ox . Đặt Q = 2 ∣ ∣ ∣ −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣

Đáp án: \[43\]

Chọn điểm \[D\] thỏa mãn \[\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \], suy ra \[D\left( {3;2;0} \right)\].

Chọn điểm \[E\] thỏa mãn \[\overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  = \overrightarrow 0 \], suy ra \[E\left( {2;4;0} \right)\].

Ta có:

\[\begin{array}{c}Q = 2\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\\ = 2\left| {\left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC} } \right)} \right| + 3\left| {\left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EC} } \right)} \right|\\ = 2\left| {3\overrightarrow {MD} } \right| + 3\left| {2\overrightarrow {ME} } \right|\\ = 6\left( {MD + ME} \right)\end{array}\]

Nhận thấy các điểm \[M\], \[D\], \[E\] đều nằm trong mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] nên ta đưa về xử lí bài toán trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\].

Dễ thấy hai điểm \[D\] và \[E\] nằm cùng phía với nhau so với trục \[Ox\]. Gọi \[D'\] là điểm đối xứng của \[D\] qua \[Ox\], suy ra \[D'\left( {3; - 2;0} \right)\].

\[MD + ME = MD' + ME \ge D'E = \left| {\overrightarrow {D'E} } \right| = \sqrt {37} \].

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \[D'\], \[M\], \[E\] thẳng hàng.

Suy ra \[{Q_{\min }} = 6\sqrt {37} \].

Vậy \[a + b = 6 + 37 = 43\].