Trong không gian O x y z , gọi Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z + 3 = 0 và ( Q ) : 2 x + 3 y − z − 3 = 0 . Khi đó phương trình đường thẳng Δ là

17/20

Trong không gian \[Oxyz\], gọi \[\Delta \] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( P \right):\]\[x - y + z + 3 = 0\] và \[\left( Q \right):2x + 3y - z - 3 = 0\]. Khi đó phương trình đường thẳng \[\Delta \] là

\[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 3}}{{ - 5}}.\]

\[\frac{x}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 3}}{5}.\]

\[\frac{x}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 3}}{5}.\]

\[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}.\]

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Gọi \[M\left( {x;y;z} \right) \in \Delta \] khi tọa độ của \[M\] là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}x - y + z + 3 = 0\\2x + 3y - z - 3 = 0\end{array} \right.\]

Cho \[y = 0\], giải hệ phương trình ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = - 3\end{array} \right.\], suy ra \[M\left( {0;0; - 3} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)\], \[\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;3; - 1} \right)\]

Có: \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\3&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\2&3\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;3;5} \right)\].

Phương trình đường thẳng \[\Delta \] là \[\frac{x}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 3}}{5}.\]