Trong không gian O x y z , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 4 và điểm M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc đường thẳng d : x = 1 − t; y = 1 + t; z = 2 . Ba điểm phân biệt A , B , C cùng

98/100

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$ và điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ thuộc đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 + t\\z = 2\end{array} \right.$. Ba điểm phân biệt $A,B,C$ cùng thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $MA,MB,MC$ là ba tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua điểm $D\left( {1;2;1} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {a;b;1} \right)$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

$Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$ và điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ thuộc đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 + t\\z = 2\end{array} \right.$. Ba điểm phân biệt $A,B,C$ cùng thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $MA,MB,MC$ là ba tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua điểm $D\left( {1;2;1} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {a;b;1} \right)$. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: (ảnh 1)$

Giá trị của $a + b$ bằng _______.

Tọa độ điểm $M$ là ( _______; _______; 2).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Đáp án

Giá trị của $a + b$ bằng 1 .

Tọa độ điểm $M$ là ( 2 ; 0 ; 2).

Giải thích

Vì $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 1 + t{\rm{\;n\^e n\;}}{x_0} + {y_0} + {z_0} = \left( {1 - t} \right) + \left( {1 + t} \right) + 2 = 4.}\\{z = 2}\end{array}} \right.$

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$ có tâm $O\left( {0;0;0} \right)$, bán kính $R = 2$.

Vì $MA,MB,MC$ là tiếp tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ nên $MO$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Gọi $H = MO \cap \left( {ABC} \right)$ suy ra $AH \bot MO$.

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua điểm $D\left( {1;2;1} \right)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {OM} = \left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ nên có phương trình là: ${x_0}\left( {x - 1} \right) + {y_0}\left( {y - 2} \right) + {z_0}\left( {z - 1} \right) = 0$.

Vì $MA$ là tiếp tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ nên $MA \bot OA$ hay tam giác $MAO$ vuông tại $A$. Suy ra $OH.OM = O{A^2} = {R^2} = 4$.

Ta có: $OH = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - {x_0} - 2{y_0} - {z_0}} \right|}}{{\sqrt {x_0^2 + y_0^2 + z_0^2} }} = \frac{{\left| {{y_0} + 4} \right|}}{{OM}}$ suy ra $OH.OM = \left| {{y_0} + 4} \right|$.

Do đó ${y_0} = 0$.

Với ${y_0} = 0 \Rightarrow t = - 1$ suy ra điểm $M\left( {2;0;2} \right)$.

Kiểm tra lại, với $M\left( {2;0;2} \right)$ khi đó $OM = 2\sqrt 2 ,OH = \frac{{\left| {0 + 4} \right|}}{{OM}} = \frac{4}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 $.

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0$ hay $x + z - 2 = 0$.

$ \Rightarrow a = 1;b = 0 \Rightarrow a + b = 1$.

Mặt khác, $MH = d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 $.

Ta có $OH + MH = OM$ nên điểm $H$ nằm giữa hai điểm $O$ và $M$ (thỏa mãn).

Vậy có duy nhất điểm $M\left( {2;0;2} \right)$ thỏa mãn ycbt.