Trong không gian O x y z , cho hai đường thẳng d 1 : (x − 6) / 1 = (y − 4) / − 4 = (z − 4) / 1 và d 2 : (x − 2) /1 = (y − 2) / 2 = z − 2 . Viết phương trình đường thẳng Δ là đường vuông

Đáp án đúng là: C

Giả sử \[A = \Delta \cap {d_1}\], \[B = \Delta \cap {d_2}\].

Ta có: \[A \in {d_1}\] nên \[A\left( {t + 6; - 4t + 4;t + 4} \right)\], \[B \in {d_2}\] nên \[B\left( {a + 2;2a + 2; - 2a} \right)\].

Suy ra \[\overrightarrow {AB} = \left( {a - t - 4;2a + 4t - 2; - 2a - t - 4} \right)\].

Vì \[\overrightarrow {AB} \bot {d_1},\overrightarrow {AB} \bot {d_2}\] nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot {\overrightarrow u _{{d_1}}} = 0\\\overrightarrow {AB} \bot {\overrightarrow u _{{d_2}}} = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - t - 4 + \left( { - 4} \right)\left( {2a + 4t - 2} \right) - 2a - t - 4 = 0\\a - t - 4 + 2\left( {2a + 4t - 2} \right) - 2\left( { - 2a - t - 4} \right) = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9a - 18t = 0\\9a + 9t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\t = 0\end{array} \right.\]

Suy ra \[A\left( {6;4;4} \right)\] và \[B\left( {2;2;0} \right)\].

Do đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[A\] và \[B\] nên có vectơ chỉ phương

\[\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2; - 4} \right) = - 2\left( {2;1;2} \right)\].

Gọi \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] nên tọa độ điểm \[I\left( {4;3;2} \right)\].

Do đó, phương trình đường thẳng \[\Delta \] là \[\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}.\]