Trong không gian O x y z , cho hai điểm A ( 1 ; 4 ; 2 ) và B ( − 1 ; 2 ; 4 ) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác O A B vuông góc với mặt phẳng ( O A B ) .

16/20

III. Vận dụng

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {1;4;2} \right)\] và \[B\left( { - 1;2;4} \right)\]. Viết phương trình đường thẳng \[d\] đi qua trọng tâm tam giác \[OAB\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {OAB} \right).\]

\[d:\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1}.\]

\[d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}.\]

\[d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\]

\[d:\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\]

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trọng tâm tam giác \[OAB\] là \[G\left( {0;2;2} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow {OA} = \left( {1;4;2} \right)\], \[\overrightarrow {OB} = \left( { - 1;2;4} \right)\];

\[{\overrightarrow n _P} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\2&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\4&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&4\end{array}} \right|} \right)\]\[ = \left( {12; - 6;6} \right) = 6\left( {2; - 1;1} \right).\]

Do \[d\] vuông góc với \[\left( {OAB} \right)\] nên \[{\overrightarrow u _d} = {\overrightarrow n _P} = \left( {2; - 1;1} \right)\].

Phương trình đường thẳng \[d\] là: \[d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}.\]