Trong không gian O x y z , cho điểm A ( 3 ; − 2 ; − 2 ) , B ( 3 ; 2 ; 0 ) , C ( 0 ; 2 ; 1 ) . Phương trình mặt phẳng ( A B C ) là

8/20

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {3; - 2; - 2} \right)\], \[B\left( {3;2;0} \right)\], \[C\left( {0;2;1} \right)\]. Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là

\[2x - 3y + 6z + 12 = 0.\]

\[2x - 3y - 6z - 12 = 0.\]

\[2x - 3y + 6z = 0.\]

\[2x + 3y + 6z + 12 = 0.\]

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;2} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;4;3} \right)\].

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\4&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\3&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&4\\{ - 3}&4\end{array}} \right|} \right)\]\[ = \left( {4; - 6;12} \right) = 2\left( {2; - 3;6} \right).\]

Suy ra \[\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là:

\[2\left( {x - 3} \right) + \left( { - 3} \right)\left( {y - 2} \right) + 6\left( {z - 0} \right) = 0\] hay \[2x - 3y + 6z = 0.\]