Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua điểm và cắt các trục lần lượt tại (khác gốc tọa độ ) sao cho là trực tâm tam giác . Mặt phẳng có phương trình dạng . Tính tổng .

21/22

Trong không gian Oyz, cho mặt phẳng ( $α$ ) đi qua điểm $M (1; 2; 3)$ và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C (khác gốc tọa độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng ( $α$ )có phương trình dạng $a x + b y + c z - 14 = 0$ . Tính tổng . $T = a + b + c$

14.

11.

Giải thích

Chọn C

Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua điểm và cắt các trục lần lượt tại (khác gốc tọa độ ) sao cho là trực tâm tam giác . Mặt phẳng có phương trình dạng . Tính tổng . (ảnh 1)

Mặt phẳng $(α)$ cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại $A (m, 0, 0)$ $B (0, n, 0)$ $C (0, 0, p)$ , m,n $\notin$ . Ta có phương trình mặt phẳng ( $α$ ) có dạng . $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1$

Mà $M \in (α) \Leftrightarrow \frac{1}{m} + \frac{2}{n} + \frac{3}{p} = 1 (1)$

Ta $\vec{A M} = (1 - m; 2; 3), \vec{B M} = (1; 2 - n; 3), \vec{B C} = (0; - n; p), \vec{A C} = (- M; 0; p)$

M là trực tâm tam giác ABC $\Rightarrow \{\begin{cases} \vec{A M} . \vec{B C} = 0 \\ \vec{B M} . \vec{A C} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 n - 2 n = 0 \\ 3 p - m = 0 \end{cases} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $m = 14, n = 7, p = \frac{14}{3}$

Suy ra $(α)$ có phương trình $\frac{x}{14} + \frac{y}{7} + \frac{3 z}{14} = 1 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 14 = 0$ .

Vậy $T = a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6$