Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).

a) ĐÚNG. Đoạn thẳng \(A'C\) là đường chéo của hình lập phương có cạnh bằng \(a\). Độ dài của nó là:

\(A'C = \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {A'C} } \right| = a\sqrt 3 \)

b) SAI. Vì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) ngược hướng với nhau.

c) SAI. Ta có \(\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC} \).

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \ne {a^2}\).

d) ĐÚNG. Từ hệ thức đề bài cho: \(\overrightarrow {C'N} = 2\overrightarrow {NB'} \Leftrightarrow \overrightarrow {C'N} = 2\left( {\overrightarrow {NC'} + \overrightarrow {C'B'} } \right) \Leftrightarrow 3\overrightarrow {C'N} = 2\overrightarrow {C'B'} \Leftrightarrow \overrightarrow {C'N} = \frac{2}{3}\overrightarrow {C'B'} \).

Do \(\overrightarrow {C'B'} = \overrightarrow {DA} \), ta suy ra: \(\overrightarrow {C'N} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \).

Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {AN} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \):

\(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'N} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \).

Hệ thức hoàn toàn chính xác.