Trong không gian, cho hình chóp SO.A B C D có đáy là hình vuông cạnh a,OA thuộc (ABCD),OA = h.
9/10
Trong không gian, cho hình chóp $O . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh \(a,OA \bot (ABCD),OA = h\). Đặt trục số Ox như Hình 8 . Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \({\rm{x}}(0 < {\rm{x}}\) \( \le \) h), cắt hình chóp OABCD theo mặt cắt là hình vuông \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Kí hiệu \(S(x)\) là diện tích của hình vuông \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).
a) Tính \(S(x)\) theo a, h và \(x\).
b) Tính \(\int_0^h S (x)dx\) và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD
a) Ta có \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) đồng dạng với ABCD theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{x}{h}\).
Do đó \(\frac{{S(x)}}{{{S_{ABCD}}}} = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2} \Rightarrow S(x) = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2} \cdot {a^2}\).
b) \(\int_0^h S (x)dx = \int_0^h {{{\left( {\frac{x}{h}} \right)}^2}} \cdot {a^2}dx = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\int_0^h {{x^2}} dx = \left. {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{h^2}}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{1}{3}{a^2}h\).
Có \({V_{O.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot OA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot h \cdot {a^2}\). Vậy \({V_{O.ABCD}} = \int_0^h S (x)dx\)