Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA (ABCD), OA = h. Đặt trục số Ox như Hình 8
9/21
Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA ^ (ABCD), OA = h. Đặt trục số Ox như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x ≤ h), cắt hình chóp O.ABCD theo mặt cắt là hình vuông A'B'C'D'. Kí hiệu S(x) là diện tích của hình vuông A'B'C'D'.
a) Tính S(x) theo a, h và x.
b) Tính ∫0hSxdx và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD.
a) Ta có A'B'C'D' đồng dạng với ABCD theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{x}{h}\).
Do đó \(\frac{{S\left( x \right)}}{{{S_{ABCD}}}} = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2} \Rightarrow S\left( x \right) = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2}.{a^2}\).
b) \(\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^h {{{\left( {\frac{x}{h}} \right)}^2}.{a^2}dx} \)\( = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\int\limits_0^h {{x^2}dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h\)\( = \frac{1}{3}{a^2}h\).
Có \({V_{O.ABCD}} = \frac{1}{3}.OA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.h.{a^2}\).
Vậy \({V_{O.ABCD}} = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \).