Trong hộp kín có 6 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, các viên bi có cùng kích thước, khối lượng và hình dạng như nhau, chỉ khác màu sắc. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp.

Gọi \(x,\,\,y\) (viên) lần lượt là số viên bi đỏ và xanh cần thêm \(\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)\).

Tổng số viên bi trong hộp ban đầu là: \(6 + 3 = 9\) (viên bi).

Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp nên có 9 kết quả có thể xảy ra.

Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi đỏ ban đầu là 6.

Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu đỏ là \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}.\)

Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi xanh ban đầu là 3.

Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu xanh là \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\)

Sau khi số bi tăng thêm, trong hộp có tất cả \(\left( {9 + x + y} \right)\) viên bi, trong đó có \(\left( {6 + x} \right)\) viên bi đỏ và \(\left( {3 + y} \right)\) viên bi xanh.

Do đó xác suất chọn được một viên bi mỗi màu không đổi nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{6 + x}}{{9 + x + y}} = \frac{2}{3}\\\frac{{3 + y}}{{9 + x + y}} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\), suy ra \(6 + x = 2\left( {3 + y} \right)\) nên \(x = 2y.\)

Do \(x,\,\,y \in \mathbb{N}*\) và số bi cần thêm vào là ít nhất nên \(y = 1\) và \(x = 2.\)

Vậy cần phải thêm ít nhất 2 viên bi màu đỏ, 1 viên bi xanh.