Trong hội trại Trăng rằm của trường TH-THCS-THPT Lê Thánh Tông, bạn Danh lớp 10E đã thiết kế một logo cho tấm poster lớn tại gian trại của lớp. Logo là hình ngôi sao 5 cánh nội tiếp trong một
14/23
Trong hội trại Trăng rằm của trường TH-THCS-THPT Lê Thánh Tông, bạn Danh lớp 10E đã thiết kế một logo cho tấm poster lớn tại gian trại của lớp. Logo là hình ngôi sao 5 cánh nội tiếp trong một đường tròn có tâm \(A\). Biết rằng ngôi sao được tạo từ các tam giác bằng nhau, một trong các tam giác đó là tam giác \(ABC\) có cạnh \(AB = 20{\rm{\;cm}}\) và \(BC = 30{\rm{\;cm}}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai? 
\(\widehat {BAC} = 36^\circ \).
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} + 2AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC}\).
\(AC \approx 43,8{\rm{cm}}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Diện tích phần nền của logo (phần được tô đậm) khoảng \(3448,5{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
a) ĐÚNG. Ngôi sao 5 cánh có 5 đỉnh nằm đều nhau trên đường tròn. Góc ở tâm tạo bởi một cánh của ngôi sao cân xứng là \(\widehat {BAC} = \frac{{360^\circ }}{{10}} = 36^\circ \) (mỗi cánh tạo bởi hai tam giác bằng nhau chung cạnh đáy từ tâm kéo dài, hoặc góc ở đỉnh tâm của mỗi tam giác nhỏ cấu thành ngôi sao đều bằng nhau, chia góc vòng tròn \(360^\circ \) thành 10 phần bằng nhau).
b) SAI. Theo định lý côsin phải là dấu trừ: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC}\).
c) ĐÚNG. Sử dụng định lý côsin để giải tìm \(AC\):
Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}36^\circ \)
\( \Rightarrow {30^2} = {20^2} + A{C^2} - 2 \cdot 20 \cdot AC \cdot {\rm{cos}}36^\circ \)
\(900 = 400 + A{C^2} - 40 \cdot {\rm{cos}}36^\circ \cdot AC\)
\(A{C^2} - 40 \cdot {\rm{cos}}36^\circ \cdot AC - 500 = 0\)
Từ đó suy ra \[AC = 20\cos 36^\circ + \sqrt {{{\left( {20\cos 36^\circ } \right)}^2} + 500} \approx 43,8{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\].
d) SAI. Bán kính đường tròn ngoại tiếp logo chính là độ dài đoạn \(AC\).
Diện tích hình tròn: \[{S_{{\rm{tr\`o n}}}} = \pi \cdot A{C^2}\].
Diện tích hình ngôi sao gồm 10 tam giác nhỏ bằng tam giác \(ABC\):
\({S_{{\rm{ng\^o i\;sao}}}} = 10 \cdot {S_{\Delta ABC}}\)\( = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}36^\circ \approx 100 \cdot {\rm{sin}}36^\circ \cdot AC\).
Diện tích phần tô đậm ở nền: \[S = {S_{{\rm{tr\`o n}}}} - {S_{{\rm{ng\^o i\;sao}}}} \approx 3448,4{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].