Trong hình vuông ABCD và nữa đường tròn đường kính AD và vẽ cung AC mà tâm là D

Cách giải 1: (Hình 1)

Kẻ PI ⊥AB.
Xét △APK và △API :
△APK vuông tại K (Vì AKD^=90∘ góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính AD)
△ADP cân tại D, AD = DP
=> P2^=DAP^
Mặt khác: P1^=DAP^(So le trong vì AD // PI)
Do đó:P1^=P2^ => △APK = △API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI

Cách giải 2: (Hình 2

(Hình 2)

Ta có: AFD^=90o (Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Tam giác ADP cân tại D có DF là đường cao nên DF cũng là phân giác suy ra D1^=D2^
mà D2^=A1^; D1^=A2^; Vì đều là góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc
Suy ra: A1^=A1^ => △APK = △API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI

Cách giải 3: (Hình 2)

Ta có (Có số đo bằng 12 sđ AK⏜)
Mặt khác góc IAP⏜ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AP của đường tròn tâm D nên góc bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung là góc ADP⏜
IAP⏜=12ADP⏜=12IAK⏜ Suy ra: A1⏜=A2⏜ => △APK = △API
(Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) => PK = PI

Cách giải 4: (Hình 3)

DK ⊥AE nên AP⏜=PE⏜.
Góc BAE⏜ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AE⏜)Vì AP lại đi qua điểm chính giữa của cung AE nên AP là tia phân giác của góc BAE⏜
Suy ra: A1⏜=A2⏜ => △APK = △API (Có chung cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau) PK = PI