Trong hình sau đây, mỗi cạnh của tam giác đều được chia thành 6 đoạn thẳng bằng nhau bởi 5 điểm nằm bên trong cùng với hai đầu mút. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các chấm điểm ở trong

Hướng dẫn giải

Tổng số chấm điểm trong hình là 18.

Mỗi tam giác cần đếm được tạo ra bằng cách lấy ra 3 điểm không thẳng hàng. Để đếm số các tam giác ta lấy số các cách lấy ra 3 điểm từ 18 điểm trừ đi số các cách lấy ra 3 điểm thẳng hàng từ 18 điểm.

Số các cách chọn 3 điểm từ 18 điểm là:

\(C_{18}^3 = \frac{{18!}}{{3!(18 - 3)!}} = 816\) (cách).

Ba điểm thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một cạnh. Số điểm của mỗi cạnh là 7. Do đó, số cách lấy ra 3 điểm trên mỗi cạnh là:

\(C_7^3 = \frac{{7!}}{{3!(7 - 3)!}} = 35\) (cách).

Như vậy, theo quy tắc cộng thì số các cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng từ hình trên là:

35 + 35 + 35 = 105 (cách).

Suy ra số các tam giác cần tìm là:

816 – 105 = 711 (tam giác).