Trong Hình 67, thanh gỗ dọc phía trên các cột và mặt đường hành lang gợi nên hình ảnh đường thẳng Δ và mặt phẳng (P)

a) Lấy B là điểm thuộc đường thẳng Δ sao cho điểm B khác điểm A.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A và B trên mặt phẳng (P) hay AH ⊥ (P), BK ⊥ (P).

Suy ra d(A, (P)) = AH và d(B, (P)) = BK.

Vì AH ⊥ (P) và BK ⊥ (P) nên AH // BK. (1)

Khi đó, hai đường thẳng AH và BK sẽ xác định một mặt phẳng là mặt phẳng (ABKH).

Ta có H, K cùng thuộc hai mặt phẳng (ABKH) và (P) nên HK = (ABKH) ∩ (P).

Do ∆ // (P) và A, B là hai điểm thuộc ∆ nên AB // (P).

Ta có: AB // (P), AB ⊂ (ABKH), HK = (ABKH) ∩ (P).

Suy ra AB // HK. (2)

Từ (1) và (2) ta có ABKH là hình bình hành.

Suy ra AH = BK hay d(A, (P)) = d(B, (P)).

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng Δ.