Trong Hình 64, hai mép của con đường gợi nên hình ảnh hai đường thẳng song song delta và delta phẩy. Xét điểm A trên đường thẳng Δ.

a) Gọi B là điểm thuộc Δ sao cho điểm B khác điểm A.

Kẻ AH ⊥ ∆’, BK ⊥ Δ’, với H, K ∈ Δ’.

Suy ra AH // BK (vì cùng vuông góc với Δ’).

Ta có: AH ⊥ ∆’ và H ∈ ∆’ ⇒ d(A, Δ’) = AH. (1)

           BK ⊥ ∆’ và K ∈ ∆’ ⇒ d(B, Δ’) = BK. (2)

Xét tứ giác ABKH có:

      AB // HK (do Δ // Δ’);

      AH // BK.

Suy ra ABKH là hình bình hành,

Do đó AH = BK. (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: d(A, Δ’) = d(B, Δ’).

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ’ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng Δ.