Đáp án: a) Đúng. \(\quad \) b) Đúng. \(\quad \) c) Sai. \(\quad \) d) Đúng.

a) Đúng. Số phần tử của không gian mẫu chọn 6 học sinh từ \(4 + 5 + 6 = 15\) học sinh là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{15}^6 = 5005\).

b) Đúng. Vì khối 12 có 4 học sinh và khối 11 có 5 học sinh nên để chọn được 6 học sinh cùng một khối thì chỉ có thể chọn từ 6 học sinh khối 10.

Số cách chọn là \(C_6^6 = 1\).

Xác suất là \(\frac{1}{{5005}}\).

c) Sai. Số cách chọn có nhiều nhất 2 học sinh khối 10 gồm ba trường hợp:

Không có học sinh khối 10: chọn 6 từ 9 học sinh khối 11 và khối 12, có \(C_9^6 = 84\) cách.

Có 1 học sinh khối 10: chọn 1 từ 6 học sinh khối 10 và 5 từ 9 học sinh còn lại, có:

\(C_6^1 \cdot C_9^5 = 6 \cdot 126 = 756\) cách.

Có 2 học sinh khối 10: chọn 2 từ 6 học sinh khối 10 và 4 từ 9 học sinh còn lại, có:

\(C_6^2 \cdot C_9^4 = 15 \cdot 126 = 1890\) cách.

Tổng số cách chọn thuận lợi là \(84 + 756 + 1890 = 2730\).

Xác suất là \(\frac{{2730}}{{5005}} = \frac{6}{{11}} \ne \frac{{69}}{{385}}\).

d) Đúng. Xét biến cố đối: chọn 6 học sinh thiếu ít nhất một khối.

Thiếu khối 12 có \(C_{11}^6 = 462\) cách.

Thiếu khối 11 có \(C_{10}^6 = 210\) cách.

Thiếu khối 10 có \(C_9^6 = 84\) cách.

Trường hợp chọn cả 6 học sinh khối 10 (đồng thời thiếu cả khối 12 và khối 11) có \(C_6^6 = 1\) cách và bị đếm hai lần. Mỗi khối 12 và khối 11 riêng lẻ đều có ít hơn 6 học sinh, nên không có các trường hợp giao khác. Số cách chọn thiếu ít nhất một khối là:

\(N = C_{11}^6 + C_{10}^6 + C_9^6 - 1 = 462 + 210 + 84 - 1 = 755\).

Xác suất để chọn được 6 học sinh có đủ cả 3 khối là:

\(P = \frac{{5005 - 755}}{{5005}} = \frac{{4250}}{{5005}} = \frac{{850}}{{1001}}\).

Trong hệ trục tọa độ (O; véc-tơ i; véc-tơ j), tọa độ của véc-tơ u = véc-tơ i + véc-tơ j là: