Trong hệ trục Oxyz, cho 3 điểm A ( 1 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 0 ; 1 ) , C ( 2 ; 1 ; 1 ) . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Diện tích của tam giác ABC bằng √ 6 /2 (đvdt)

15/22

Trong hệ trục Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right),C\left( {2;1;1} \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Diện tích của tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)(đvdt)

b) Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là một hình bình hành khi đó \(x + y + z = 3\)

c) Độ dài đường cao của tam giác \(ABC\) hạ từ \(A\) bằng \(AH = \frac{{\sqrt {30} }}{5}\)(đơn vị dài)

d) Thể tích của khối chóp \(SABCD\) với đỉnh \(S\left( {0;3;4} \right)\) bằng \(2\)(đvtt)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

(a) Đúng: Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;1} \right)\)

Tính \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}0&1\\1&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}1&1\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}&0\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;2; - 1} \right) \ne \vec 0\)

Do đó 2 véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Vậy\(A,B,C\) là 3 đỉnh của một tam giác

Diện tích tam giác \(ABC\): \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)(đvdt)

(b) Sai: \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\) ta có: \[\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y;z} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {2;1;0} \right)\]

Vậy \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 2}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

(c) Đúng: Diện tích \(\Delta ABC = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow AH = \frac{{\sqrt 6 }}{{BC}}\).

Ta có \(BC = \sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow AH = \frac{{\sqrt {30} }}{5}\) (đơn vị dài)

(d) Sai: Thể tích của khối chóp \(SABCD = V\)

Ta có \(V = 2\;{V_{SABC}} = \frac{1}{3}\left| {[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] \cdot \overrightarrow {AS} } \right|\)

Tính \(\overrightarrow {AS} = ( - 1;3;4)\) do kết quả câu 1 nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {.AS} = 1 + 6 - 4 = 3 > 0\) do đó \(V = 1\) (đvtt)