Trong hệ tọa độ Oxy cho A(1;1), B(4;-3) Gọi C(a;b) thuộc đường thẳng d: x-2y-1=0

23/150

Trong hệ tọa độ Oxy cho Gọi \(C\left( {a;\,b} \right)\) thuộc đường thẳng \(d:x - 2y - 1 = 0\) sao cho khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \[AB\] bằng 6 . Biết rằng \(C\) có hoành độ nguyên. Tính \(a + b\).

\(a + b = 10.\)

\(a + b = 7.\)

\(a + b = 4.\)

\(a + b = - 4.\)

Giải thích

Ta có \(\overrightarrow {AB} = (3; - 4).\)

Khi đó, phương trình của đường thẳng \[AB\] có dạng: \(4x + 3y + m = 0.\)

Vì \(A\left( {1\,;\,\,1} \right) \in AB\) nên \[4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 7 \Rightarrow AB:4x + 3y - 7 = 0.\]

Vi \(C\left( {a\,;\,\,b} \right) \in d:x - 2y - 1 = 0 \Rightarrow a - 2b - 1 = 0 \Rightarrow a = 2b + 1.\)

Theo đề ra \[{\rm{d}}\left( {C\,,\,\,AB} \right) = 6 \Leftrightarrow \frac{{\left| {4a + 3b - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 6 \Leftrightarrow \left| {4a + 3b - 7} \right| = 30.\]

Thay \(a = 2b + 1\) vào ta được: \(\left| {4\left( {2b + 1} \right) + 3b - 7} \right| = 30\)

\( \Leftrightarrow \left| {11b - 3} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{11b - 3 = 30}\\{11b - 3 = - 30}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3}\\{b = - \frac{{27}}{{11}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Do \(C\) có tọa độ nguyên nên \(b = 3\,;\,\,a = 7 \Rightarrow a + b = 10.\) Chọn A.