Trong công viên có một thảm cỏ hình tam giác ABC với diện tích 150 m^2 và độ dài cạnh đáy BC là 20 m. Ban quản lý dự án muốn lát gạch một sân chơi có dạng hình bình hành MNPQ nằm trọn trong t

Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H\) và cắt \(MN\) tại \(K\)

Vì \({S_{ABC}} = 150\,\,\left( {{m^2}} \right)\) nên \(\frac{{AH.BC}}{2} = 150 \Rightarrow AH = \frac{{2.150}}{{BC}} = \frac{{2.150}}{{20}} = 15\left( m \right)\)

Gọi \(MN = x,\,HK = y\) với \(x,y > 0;y < 15\).

Vì  \(MNPQ\) là hình bình hành nên \(MN{\rm{//}}BC\)

Tương tự chứng minh

Suy ra \[\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AK}}{{AH}}\] hay\(\frac{x}{{20}} = \frac{{15 - y}}{{15}} \Rightarrow x = \frac{4}{3}\left( {15 - y} \right)\)

Ta có : \({S_{MNPQ}} = HK.QP = HK.MN = xy = \frac{4}{3}\left( {15 - y} \right)y\)

Hay \({S_{MNPQ}} = \frac{4}{3}y\left( {15 - y} \right) = \frac{{ - 1}}{3}\left( {4{y^2} - 60y} \right) = \frac{{ - 1}}{3}\left( {4{y^2} - 2.2y.15 + 225 - 225} \right)\)

       \({S_{MNPQ}} = \frac{{ - 1}}{3}\left[ {{{\left( {2y - 15} \right)}^2} - 225} \right] = \frac{{ - 1}}{3}{\left( {2y - 15} \right)^2} + 75\)

Vì \(\frac{{ - 1}}{3}{\left( {2y - 15} \right)^2} + 75 \le 75\)nên \({S_{MNPQ}} \le 75\)

Dấu bằng xảy ra khi \({\left( {2y - 15} \right)^2} = 0 \Rightarrow y = \frac{{15}}{2} \Rightarrow x = \frac{4}{3}\left( {15 - \frac{{15}}{2}} \right) = 10\)

Suy ra \(MN = \frac{1}{2}BC\) mà \(MN\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Suy ra điểm \(M\)là trung điểm của \(AB\).

Vậy diện tích sân chơi hình bình hành lớn nhất có thể đạt được là \(75{m^2}\).