Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu?

10/20

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0.\]

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + 6 = 0.\]

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y + 4z + 14 = 0.\]

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0.\]

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án như sau:

• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\]ta có:\[a = - 1,b = - 1,c = 1,d = 4\].

Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = - 1 < 0.\]

Vậy đáp án A không là phương trình mặt cầu.

• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + 6 = 0\] ta có: \[a = - 2,b = 1,c = - 1,d = 6\].

Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 0\]

Vậy đáp án B không là phương trình mặt cầu.

• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y + 4z + 14 = 0\] có: \[a = - 1,b = 3,c = - 2,d = 14\].

Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 0\]

Vậy đáp án C không là phương trình mặt cầu.

• Với \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\] có: \[a = - 4,b = 3,c = - 1,d = - 10\].

Suy ra \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 36 > 0.\]

Vậy đáp án D là phương trình của một mặt cầu.